( ) ( ) ( OPMQ) ( ) المستقيم في المستوى 1- معلم إحداثيتا نقطة و و ( ) أفصول و. y أآتب الشكل مسقط M على ) OI (

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "( ) ( ) ( OPMQ) ( ) المستقيم في المستوى 1- معلم إحداثيتا نقطة و و ( ) أفصول و. y أآتب الشكل مسقط M على ) OI ("

Σπύρος Δυοβουνιώτης
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 المستقيم في المستى القدرات المنتظرة *- ترجمة مفاهيم خاصيات الهندسة التالفية الهندسة المتجهية باسطة الاحداثيات *- استعمال الا داة التحليلية في حل مساي ل هندسية. I- معلم مستى احداثيتا نقطة تساي متجهتين شرط استقامية متجهتين 1- معلم إحداثيتا نقطة نشاط لتكن I J O ثلاث نقط غير مستقيمية نقطة من المستى P مسقطها على ( OI ) بتاز مع ( OJ ) مسقطها على Q ( OJ ) بتاز مع ( OI ) ( OJ ; ) ( OI ; ) 1- أنشي الشكل 2- باعتبار x أفصل P بالنسبة للمعلم OJ OI x بدلالة O أآتب الشكل أفصل Q بالنسبة للمعلم ( OI ) ( OJ ; ) ( OJ ) ( OJ ) 1 مسقط على ) OI ( بتاز مع ( OPQ) لدينا P منه بتاز مع Q مسقط على متازي الا ضلاع بالتالي O = OP + OQ حيث أن x أفصل P بالنسبة للمعلم ) ; OI ( فان OP = xoi OQ = OJ منه O = xoi + OJ بما أن أفصل O ثلاث نقط غير مستقيمية فاننا نقل ان الزج أ المعلم ; ; نكتب Q بالنسبة للمعلم زج احداثيثي ( OIJ ; ; ) ( x; ( x ; ) J I ( OIJ ; ; ) J I بالنسبة للمعلم -2 تعريف 1 * آل ثلاث نقط غير مستقيمية ; ; Oتحدد معلما في المستى نرمز له ب أ ترميز مصطلحات - المستقيم OI المستقيم يسمى محر الا فاصيل يسمى محر الا راتيب ( OI فان ) ; ; يسمى معلما متعامدا OI OI = OJ فان ; ; يسمى معلما متعامدا ممنظما. ( ; ; ) ( OJ ) ( OJ ) ( OJ ) إذا آان إذا آان تعريف 2 نقل ان الزج( ( ;x زج إحداثيتي النقط O = xoi + OJ نكتب في المعلم إذا فقط إذا آان ( x ; ) x يسمى أفصل العدد يسمى أرتب العدد - - -

2 2- إحداثيتا متجهة تساي متجهتين أ- احداثيتا متجهة نشاط ( نعتبر المستى (P ( منسب إلى معلم ) ; ; u متجهة معلمة. u = O أنشي حيث باعتبار بالنسبة للمعلم ; ; أآتب u بدلالة x ( x ; ) ( ; ; ) u( x; AB x x ( ' ; ' ) u = xoi + OJ نكتب 2 u( x; لدينا O = xoi + OJ الزج منه u زج احداثيثي ( x; تعريف ( زج احداثيثي u في المعلم ) ; ; ه زج إحداثيتي النقط u( x; حيث O = u نكتب اذا آان في المعلم ; ; فان زج احداثيثي u ه في المعلم x; ( نكتب ( x ; ) ( المستى منسب إلى معلم ) ; ;. ' u' ( x'; متجهتان α β عددان حقيقيان x; u( ) αx + βx'; α+ β' ه αu زج إحداثيتي المتجهة + βv u( x; ب- تساي متجهتين ( في مستى منسب إلى معلم ) ; ; نعتبر = ' x = x ' اذا فقط اذا آان u = u' د- احداثيتا AB في مستى منسب إلى معلم ; ; إذا آان ' u' x'; متجهتين ( '; ' ) B x فان.v ( 2; 4) A( x ; ) u ( 2;3) في مستى منسب إلى معلم متعامد ممنظم نعتبر النقط( 2 1; ( A 1) 3; ( B 2) 3; ( C متجهتين -1 أنشي النقط A B C المتجهتين u v 1 2u 2- حدد زج إحداثيتي آل من AB AC v 2-3 حدد زج إحداثيتي D حيث AB = BD 4- حدد زج إحداثيتي I منتصف[ [ AB

3 u = 3i 2j x x ' ' متجهتين غير مستقميتين حيث ( uv) j i u v (في هذا الترتيب) نرمز له ب لتكن u v متجهتين غير مستقميتين v = 4i+ 3 j ( i ; حدد إحداثيتي u v في الا ساس j) حدد إحداثيتي i j في الا ساس ; uv 3- شرط استقامية متجهتين أ- محددة متجهتين v x متجهتين ( '; ') x; u ( ) تعريف لتكن العدد نكتب x ' x ' يسمى محددة المتجهين ; det أ det ; ( uv) x = x ' = x ' x ' ' مثال نعتبر 2;3) ( u 4) 2; ( v 5;) ( w حدد ) ; uv det ( ) ; uw det ( x; u ( ') v ( x '; غير منعدمتين ب- لتكن ) u = kv مستقيميتان v u * ' kx x = ' k = منه = ' x ' x ' = kx ' ' kx ' نفترض = x ' x ' ' x x = kx ' منه x * نضع x ' = k بالتالي = x ' x ' ' k = إذن u = kv إذا آان u أ v منعدما فان = x ' x ' تكن u v مستقيميتين إذا فقط إذا آان = ) ; uv det ( تكن u v غير مستقيميتين إذا فقط إذا آان ; uv det u ( 1; 3) w ( 1; 2 ) v w u 1) 1; 2 ( u v ثم u ( 2 + 1;1) مثال لتكن أدرس استقامية في مستى منسب إلى معلم متعامد ممنظم 1 2 2; ( B 4) 1; ( C متجهة A ) نعتبر النقط 3; 2 1- أنشي النقط A B C المتجهة u -2 حدد x حيث u 2;5 x v مستقيميتان 3- بين أن النقط A B C مستقيمية 4- منظم متجهة في مستى منسب الى معلم متعامد ممنظم إذا آان فان u = x + u ( x; ) 3

4 2 2 B A B A AB = x x + B x فان B B ( ; ) A x A A إذا آان - -II المستقيم في المستى 1- مستقيم معرف بنقطة متجهة لتكن A نقطة u متجهة غير منعدمة t ; A = tu حيث نحدد مجمعة النقط ( AB ) لنضع AB = u B لان * * نعلم أن t ; A = tab ( D) = ( AB) يسمى المستقيم المار من u المجه ب A تعريف لتكن A نقطة u متجهة غير منعدمة مجمعة النقط حيث t ; A = tu هي المستقيم المار من u المجه ب A نرمز له ب x = x + tα = + tβ A x نقطة. t A x المجه D( A; u ) ملاحظة لتكن u v غير منعدمتين D( A; u) = D( A; * إذا آان u v مستقيميتين فان ) v D( A; u) = D( B; u) فان B D( A; * إذا آان (u * AB مجهة للمستقيم نعتبر ) D ( ( AB ) 2- تمثيل بارامتري لمستقيم في مستى منسب إلى معلم مار من النقطة مجهة له مستقيم A = tu u ( α; β ) t من حيث A x ) ; ( تجد x = x + tα t = + tβ x = x + tα تسمى تمتيل بارامتري النظمة t = + tβ A x ; المجه ب للمستقيم u ( α; β ) ) ; αβ u ( متجهة غير منعدمة u ( αβ ; ) ) D )المار من مبرهنة تعريف المستى منسب الى معلم j) ( Oi ; ; A x مجه ب آل مستقيم ) D ( مار من النظمة x = x + tα تسمى تمتيل بارامتري للمستقيم = + tβ له نظمة على شكل ) D )المار من t u ( α; ب ) β 4

5 . ( ab ; ) ( ;) ( 6 4; ( v. ( ) u ( 2;3) 5 في مستى منسب إلى معلم متعامد ممنظم C متجهتين نعتبر النقط 2;1) ( A 2) ; ( B 4) 1; ( لتكن t x = 2 t تمثيلا بارامتريا لمستقيم ( ( = 1+ t D المار من A المجه ب u المستقيم أنشي المستقيم ) ( أ- حدد تمثيلا بارامتريا للمستقيم ) D ( ب- أعط ثلاث نقط تنتمي إلى المستقيم ) D ( ج- هل النقطتين B C تنتميان الى المستقيم ) D ( 3- أ- بين أن u v مستقيميتان ; DCv. ماذا تلاحظ ب- حدد تمثيلا بارامتريا ل ( AC ) حدد تمثيلا بارامتريا للمستقيم ملاحظة آل مستقيم يقبل ما لا نهاية من التمثيلات البارامترية 3- معادلة ديكارتية لمستقيم أ- مستقيم معرف بنقطة متجهة u ( αβ ; ) ) P )منسب إلى معلم A x ) ; ( في مستى مستقيم مار من النقطة مجهة له. u مستقيميتان x x x نقطة من A α = β β x α + α βx = حيث نعتبر ) D ( ( ; لتكن ) c = α βx نضع ; β = a ; α = b ab ; حيث ; ax + b + c = D مبرهنة في مستى منسب إلى معلم آل مستقيم D له معادلة على شكل = c ax + b + ( ab ; ) ( ;) اعداد حقيقية حيث c ax + b + c حيث = x ax + b + c = a b * العكس لتكن لنحدد مجمعة النقط لنفرض أن a c C ; ( D) غير فارغة لا ن a لتكن A x ; تنتمي الى منه ax + b + c = ax + b ax b = a x x + b = x x b = a c = ax b بالتالي x; D

6 ax + b + c = u مستقيميتان ( b; a) A D A; u مبرهنة في مستى منسب إلى معلم مجمعة النقط x; ( حيث ) u ( b; a) المجه ب ( ab ; ) ( ;) ;) ( ) ; ab ( هي المستقيم حيث تسمى معادلة ديكارتية للمستقيم المجه. u ( 1; 2) A ( 2;1) المعادلة = c ax + b + u b; a ب ) ( في مستى منسب إلى معلم متعامد ممنظم 2x معادلة ديكارتية لمستقيم 3 + 1= لتكن t نعتبر النقطة x = 1+ 5t تمثيل بارامتري = 2 2t لمستقيم ( D ') 1- حدد معادلة ديكارتية لمستقيم مار من A مجه ب u 2- أعط ثلاث نقط من المستقيم متجهة مجهة له. ') D.( أنشي الشكل. حدد معادلة ديكارتية للمستقيم ملاحظة * لكل عدد حقيقي غير منعدم k المعادلتان = c ax + b + = kc akx + bk + مين فهما معادلتان لنفس المستقيم * للمستقيم مالا نهاية من المعادلات المة. ب- حالات خاصة * المستقيم القاطع لمحري المعلم يقطع مستقيم( ( D محري معلم في نقطتين مختلفتين( a; A ( ) b B ( ; إذا فقط إذا آان x b = c x للمستقيم ) D ( معادلة ديكارتية على شكل = 1 + حيث a a b * المستقيم المازي لمحر الا راتيب يكن مستقيم ماز لمحر الا راتيب اذا فقط آان له معادلة من نع -3. = c ملاحظة ليكن ;) ( ) ; ab ( تكن = c ax + b + معادلة مستقيم ماز لمحر الا راتيب إذا فقط إذا آان = b * المستقيم المازي لمحر الا فاصيل يكن مستقيم ماز لمحر الا راتيب اذا فقط آان له معادلة من نع 6

7 β α = mx + p 7 * المستقيم غير المازي لمحر الا راتيب Oi مستى منسب إلى معلم ; j ; b ( D): ax + b + c = ) D ( غير ماز لمحر الا راتيب b c إذن معادلة( ( D تصبح x = a a c a نضع = m p = ; إذن معادلة ) D ( تكتب b b بالعكس نعتبر = mx + p معادلة ) D ( منه u 1; m مجهة ل لدينا j det u; إذن ) D ( لا يازي محر الا راتيب. P مستى منسب إلى معلم يكن المستقيم = mx + p غير ماز لمحر الا راتيب إذا فقط إذا آانت معادلة العدد m يسمى المعامل المجه للمستقيم المتجهة u ;1 m مجهة للمستقيم على شكل ( D) المعادلة = mx + p ملاحظة اذا آان تسمى المعادلة المختزلة للمستقيم مجهة لمستقيم غير ماز لمحر الا راتيب فان المعامل المجه له ه العدد u ( α; β ) في مستى منسب إلى معلم متعامد ممنظم ( ) x = 1+ 3t : = 2 + t t نعتبر النقطة 2;1) ( A حدد المعادلة المختزلة للمستقيم المار من ثم معادلته المختزلة. A معامله المجه D 2 2- حدد المعامل المجه للمستقيم ( ( - III الا ضاع النسبية لمستقيم 1- التازي D1 : ax + b + c = ; D2 : a' x + b' + c' = a' u '( b'; مجهة ل b; u ( مجهة ل ) 1 ( D ) a) det uu ; ' = D // D ab ' a ' b = ;) ( ) ; ab ( ( ; ( ) b' ( a'; D : = mx + p ; D : = m' x + p' -1 مبرهنة 1 نعتبر ليكن مستى منسب إلى معلم D : ax + b + c = ; D : a' x + b' + c' = ab ' a ' b = //( D ( اذا فقط اذا آان مبرهنة 2 // ليكن مستى منسب إلى معلم اذا فقط اذا آان ' m m =

8 .. 8 مثال D1 :2x 3 + 4= ; D2 : 4x = هل( ( D 1 ) 2 ( D منفصلا أم منطبقان 2- التقاطع ;) ( ) ; ab ( ( ; ( ) b' ( a'; مبرهنة 1 ليكن ) P ( نعتبر مستى منسب إلى معلم D : ax + b + c = ; D : a' x + b' + c' = ab ' a ' b ax + b + c = ax ' + b' + c' = D : = mx + p ; D : = m' x + p' ( a'; b' ) ( ( ; ( ab ; ) ( ;) O ( b a ) ( ) A' '; ' 2 ( D 2 ) ( b; a) ( ) D 2 ) D 1 ( متقاطعان اذا فقط اذا آان زج إحداثيتي تقاطعهما ه حل النظمة مبرهنة 2 ليكن ) P ( مستى منسب إلى معلم m 'm اذا فقط اذا آان )متقاطعان D 2 ) D 1 مثال = mx + p زج إحداثيتي تقاطعهما ه حل النظمة = m' x + p' D : x + 3 5= ; D :2x + 1= ( 1) ( 2) ) 2 D )متقاطعان حدد تقاطعهما D 1 تا آد أن 3- التعامد نشاط ليكن مستى منسب إلى معلم ( 1) ( 2) المار من O ) 2 ( D : ax+ b+ c= ; D : a' x+ b' + c' = D 1 1 نعتبر ليكن المازي ل حدد معادلة ديكارتية لكل من المازي ل ثم تا آد أن المار من A BC = AB + AC ( ab ; ) ; ( a'; b' ) ( ;) B ( 1; 3) A ( 2;1) 1 OAA' 2 1 ( D1) ( D2) اذا آان بين أن ما طبيعة المثلث إذا فقط إذا آان = bb' aa ' B A B A AB = x x + ABC تذآير * مثلث ABC قاي م الزاية في A اذا فقط اذا آان في مستى منسب إلى معلم م.م نعتبر D : ax + b + c = D' : a' x + b' + c' = ) ( حيث إذا فقط إذا آان = bb' aa ' + * ( D) ( D' ) D : = mx + p D ' : = m' x + p' إذا فقط إذا آان ( D) ( D' ) نتيجة mm ' = 1 مثال نعتبر 5= 2+ D : 2x+ 3 1= D' :3x+ ( D) ( D' ) بين أن في مستى منسب إلى معلم متعامد ممنظم نعتبر

9 u ( 2;3) A D) ( بين أن مستقيم مار من مجه ب ( D) ( AB) CK = AC ; AJ = AB 4 2 B ( 2; ( 4 A ( 2;1) [ BC ] منتصف I ليكن ABC مثلثا I J K نقط حيث AABAC ننسب المستى إلى معلم ; ; 1- حدد إحداثيات النقط I J K 2- بين أن النقط I J K مستقيمية 3- حدد تمثيلا بارامتريا للمستقيم IJ ثم حدد معادلة ديكارتية له. في مستى منسب إلى معلم متعامد ممنظم نعتبر النقطتين G ( D) :2x 3 + 1= u ( 5; 2) D : m 1 x 2m 3= + m 1- حدد معادلة ديكارتية للمستقيم المار من A المجه بالمتجهة u 2- تا آد أن متقاطعان حدد تقاطعهما. [ AD) C 3 3; 2 [ AB) ; ; 2 1 ( ) ( D) // ( Dm ) ( D) ( D m ) m حيث m حيث أ- حدد ب- حدد أ- أنشي المستقيمات نعتبر ب بين أن جميع المستقيمات تمر من النقطة C ( ;2 ) ; B ( 6.7 ) ; A( 1;3) حدد معادلة ديكارتية لكل متسط للمثلث ABC. ABC G مرآز ثقل حدد زج إحداثيتي EFGH متازيي الا ضلاع حيث ABCD ليكن أثبت أن المستقيمات A ; AB ; AD ( E ) CF ( اما متازية إما متقاطعة ) يمكن اعتبار المعلم ( ED ) ( BG ) 9

Σχετικά έγγραφα

( ) تعريف. الزوج α أنشطة. لتكن ) α ملاحظة خاصية 4 -الصمود ليكن خاصية. تمرين حدد α و β حيث G مرجح

( ) تعريف. الزوج α أنشطة. لتكن ) α ملاحظة خاصية 4 -الصمود ليكن خاصية. تمرين حدد α و β حيث G مرجح . المرجح القدرات المنتظرة استعمال المرجح في تبسيط تعبير متجهي إنشاء مرجح n نقطة 4) n 2 ( استعمال المرجح لا ثبات استقامية ثلاث نقط من المستى استعمال المرجح في إثبات تقاطع المستقيمات استعمال المرجح في حل